VDI 2230-2 刚体法五步
在谈及多螺栓连接之前，先参考一下 VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南，还有 VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例。VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南把 Part 1 的十四步按三幕讲完，又在最后一卷补了 Part 2 的多螺栓连接；VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例把十四步摆进算例，收到 R13 那个扭矩值。在大致了解这些之后，我们才有一个标准与对照。
VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例开头说过一句：R0 之前还差一步，而且这一步不在标准里——FB 从哪来。VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南讲得更狠：外部总载荷 FB 是整个计算的输入前提，可 VDI 2230 一刀把它排除在外了，FB 由设计选型工程师定，标准只负责「把已知载荷算对」。
这一篇补的是紧跟在后面的一截：一群螺栓里，到底该算哪一颗，它分到多少力。
我知道你手上可能就是一张法兰图，六颗螺栓，总载荷 12 kN，顺手一除，每颗 2 kN，然后填进 R0。别急着做，搞不好就白做了。这个除法在绝大多数场合是错的，而且错得不声不响——计算书看着整整齐齐，十二步全过得去，装上去偏偏是最外侧那颗先松。
Part 2 交出来的是什么
Part 1 那十四步，眼里只有一颗螺栓、一组 FA / FQ。它开头那句「假定已知载荷与几何参数」，说的就是这个前提：FA、FQ、偏心距 a 都摆在桌上了，它才动笔。
Part 2 的交付物就一件：从一群螺栓里把受载最重、最先可能坏的那颗揪出来（原文叫「最高加载的单螺栓连接」），连同它分到的轴向力、横向力、界面力矩，一起交回 Part 1。原文那句「确定和拆分」，找出来是目的，拆出来才是交付。可别误会成它只管挑人——载荷怎么分、分界面怎么变形、什么时候该上有限元，过程里该算的一样不少。
顺序是死的：整机载荷 → Part 2 分配 → 单颗的 FA / FQ / a → Part 1 的 R0–R13。VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 · 卷三 里那个四螺栓法兰，第一步把四个整机载荷分到最外侧那颗，用的就是对称情况的简便算法；那一步本来就归 Part 2 管。
为什么不能拿总载荷除以螺栓数？管着分配结果的有四样，漏一样算出来就偏。
1，结构的刚度。Part 2 把连接分成高柔性、柔性、刚性板三档。板比螺栓硬得多，就能当刚体，靠力和力矩平衡分；板自己也会弯，那就得算螺栓与板的变形协调。原文盯的是结构刚度与螺栓刚度之比，不是板厚那一个数字。
2，载荷的类型与组合。横向力垂直于螺栓行、又正好作用在形心上时，可以先按各点摩擦面均分估一下；顺着螺栓行方向就不是这么回事了，§6.6 专门讲这个坑，后面还会说到。弯矩和扭矩从来不能均分，按离形心的距离走。热附加力别忘了算。静态、周期、随机载荷也得分开看，交变工况下最吃力那颗换人，一点都不奇怪。
3，作用点与作用高度。作用线不过程形心就是偏心，白捡一个附加弯矩；作用点离分界面越高，撬力越大，载荷系数 Φ 也跟着变。这里多说一句：VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 · 卷三 的算例只算到柔度那一层，Φ 是从 δP / (δS + δP) 出来的，偏心距 a 压根没展开。a 是 Part 2 交给 Part 1 的另一个数，拿到它才谈得上修载荷引入。Φ 从来不是 Part 1 拍脑袋给的一个系数，是从结构里带出来的。
4，螺栓怎么排。原文把螺栓群分成矩形法兰、圆形法兰（同心圆上布置）、螺栓行这么几类。旋转对称和非旋转对称，解法不一样；螺栓行是顺着力的方向还是垂直，横向力分起来也不一样。
三条路线，按代价从低到高
Part 2 摆了三类办法，没有哪条通吃。原文说得挺直白：每个多螺栓连接都可能是个独特的问题，得配自己的解法。
| 路线 | 假定与做法 | 出处 | 代价与边界 |
|---|---|---|---|
| 刚体力学法 | 板比螺栓硬得多，板不变形，螺栓当成点支座，全靠力和力矩平衡分载荷 | §5.2、§6.3 | 工作量最小，刚性法兰这类场合够用；螺栓里的弯矩、偏心距 a 都不管，算出来的螺栓力可能偏大也可能偏小。振动工况下是弯曲应力说了算，所以拿刚体法做疲劳校核，原文说「只有很有限的应用」 |
| 弹性力学法 | 把结构拆成几根弯曲梁，用柔度矩阵或虚功原理求分界面上的等效力与力矩，再算出每颗螺栓的力和偏心距 a | §5.3、§6.4 | 比刚体法贴近真实；建模费劲，而且不是什么结构都能找到合适的等效梁。说到底，Part 1 自己那套公式，本质上就是单螺栓的弹性力学解 |
| 有限元法 | 直接建模，从结果里读螺栓力 FS、附加载荷 FSA、残余夹紧力 FKR，a、ssym、Φ 反倒不用显式去求 | §5.4、§7 | 复杂结构靠它，代价是建模和验证的工夫 |
三者共用的前提：线弹性材料、小变形（截面保持平面）、遵守 Part 1 R0 那几个尺寸限制 G / G′ / G″。再送一条经验——动手前先拿对称、反对称条件把模型缩到最小，能省掉一大半计算，别一上来就建全模。
适用范围也顺手交代：跟 Part 1 一样，钢制高强度螺栓，8.8～12.9 级或者 70、80 级，工作载荷基本靠被夹紧件之间的摩擦传。原文还专门留了句话：标准不免除试验验证，关键连接、以及刚体模型这种简化得厉害的算法，尤其该实测一下。这话我劝你别当客套。
刚体法：五步把整机载荷分到每颗螺栓
原文 §6.3.1 给了套很规整的流程，非旋转对称的螺栓群照着往下走就行，一共五步。
1，找形心 S。同一个公称直径的螺栓群，形心就是各螺栓坐标的算术平均；直径掺着不一样，就按截面或柔度加权。后面所有外载荷，都得先搬到这个点上。
2，定主轴 x、z。规则矩形阵列，主轴就是对称轴，好办；摆得没规矩的，得通过面惯性矩矩阵求个转角，把坐标转到惯性积为零的方向。
3，算面转动惯量。这一步要算的是两个惯量，别混着用：弯矩按 Σx′²（各螺栓到中性轴的距离平方），扭矩按 Σr² = Σ(x′² + z′²)。真正起作用的都是距离平方，也就是原文说的 Steiner 分量。离得越远、螺栓越多，抗弯能力越强，摊到单颗头上的附加载荷反倒越小。
4，把外载荷搬到形心。轴向力、横向力、弯矩、扭矩，统统换算到主轴系；作用点不在形心，补一个 e×F 的附加弯矩。斜着拉的工作力，拆成沿螺栓轴和垂直螺栓轴两个分量再往下算。
5，逐颗算。按叠加原理，每个载荷工况单独算一遍，再矢量合成。轴向力过程形心，FA/n 均分；弯矩按离中性轴的距离线性分；横向力垂直于螺栓行、又过程形心，可以先均分；绕螺栓轴的扭矩按 ri/Σr² 分，最外侧那颗最大。最后逐颗比一遍，把最吃力的挑出来。
转轴位置别选错。原文图 11 那组对比挺说明问题：同一排螺栓、同一个力矩，转轴位置一换，最外排的螺栓力能差到 2.5 倍。自由转轴和固定转轴是两套模型，选错了整张表跟着一起偏。
刚体法的边界也得记住：它默认分界面既不张开也不滑移。哪颗螺栓算出「负的拉力」，就说明那一侧已经压开了，前提塌了，老实换弹性力学法或者有限元。别硬把负数填进 R5。
算一遍：一块摆歪了的六螺栓盖板
还是 VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 · 卷三 里那台设备，把法兰换成一块摆歪了的盖板，6 颗 M8×1.25。俯视坐标（x, z，mm）：B1(−80, 50)、B2(0, 50)、B3(80, 50)、B4(−80, −50)、B5(40, −50)、B6(80, −50)。下排中间那颗往右挪了 40 mm，形心就不在几何中心上了。
整机的活儿：轴向拉力 12 kN，作用点在形心右侧 40 mm；横向力 6 kN 沿 −z；绕螺栓轴扭矩 0.9 kN·m。
VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例只给了这段的结果——低估多少倍、哪两颗最吃力。这一篇把中间那几步补上，数值全部照抄 VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 的 Part 2 算例，为便于手算取了整。
第一步，形心和两个惯量。Σx = 40，形心 S = (6.67, 0) mm。每颗坐标减掉形心再求和，Σx′² = 26933 mm²，Σr² = Σ(x′² + z′²) = 41933 mm²。这两个数后面反复要用，先记牢。
第二步，轴向力。12 kN 过程形心那部分均分，每颗 2 kN。偏心 40 mm 白捡一个弯矩 M = 12×40 = 480 kN·mm，按 FA(M),i = M·x′i / Σx′² 分，系数 480/26933 = 0.01782 kN/mm。于是 B1、B4 各减 1.54 kN，B3、B6 各加 1.31 kN，B2 减 0.12、B5 加 0.59。这几项加起来正好是零，力矩自己平了，算是验算过一遍。
第三步，横向力。6 kN 垂直于螺栓行又过程形心，刚体模型下每颗 1 kN。扭矩 0.9 kN·m = 900 kN·mm 按 FqM,i = MT·ri / Σr² 分，方向是切向；偷个懒写成矢量更省事：每颗的扭矩分量 = (900/41933)·(−z′, x′)。跟那 1 kN 矢量相加再取模，才是这颗真正要扛的横向力。请注意这一步是矢量相加，不是两个数直接加——横向力的方向和扭矩分量未必同向，随手一加就把 B1 那 3.05 kN 抹平了。
第四步，逐颗排队。
| 螺栓 | FA (kN) | FQ (kN) | 谁冒尖 |
|---|---|---|---|
| B3 / B6（右侧两颗） | 3.31 | 1.22 | 轴向这头最吃力 |
| B1 / B4（左侧两颗） | 0.46 | 3.05 | 横向这头最吃力 |
| B2 | 1.88 | 1.57 | 两头都不冒尖 |
| B5 | 2.59 | 1.11 | 两头都不冒尖 |
直接拿总载荷除，轴向 2.00 kN、横向 1.00 kN，看着挺省事。实际最大轴向 3.31 kN、最大横向 3.05 kN，分别低估了 1.65 倍和 3.05 倍。更麻烦的是，这两个最大值压根不在同一颗上。
六个圆点在VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南的图上按真实坐标摆着：下排中间那颗往右一挪，形心跟着偏到 S(6.67, 0)；拉力作用点又落在形心右侧 40 mm，右边两颗被弯矩抬高，左边两颗反倒卸了载。横向力的最大值没跟轴向力在一块儿，跑到了离形心最远的左下、左上两颗。
原文 §6.4.7 说得明明白白：最大轴向载荷、最大轴向载荷幅值、最大横向力，可能分别落在不同的螺栓上。所以送进 Part 1 验的，往往不止一颗。直径掺着不一样的时候，载荷小的那颗反倒可能应力最高，别被数骗了。
把两颗都送回 Part 1
别只盯轴向力最大的那颗。本例把连接卡住的是横向力最大的 B1 / B4，FA 最大的 B3 / B6 反倒有余量。
沿用 VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 · 卷三 里的 μT = 0.15、qF = 1、Φ ≈ 0.08、FZ = 1.1 kN。R2 的最小夹紧力按 FKerf ≈ FQ/μT 估：B3 是 1.22/0.15 ≈ 8.1 kN，B1 是 3.05/0.15 ≈ 20.4 kN。R5 的 FMmin = FKerf + (1−Φ)FA + FZ，算下来 B3 ≈ 12.3 kN、B1 ≈ 21.9 kN。
判不过就按老规矩排查，这里得先把尺子统一：按 VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 · 卷三 里 R7 那套算法，M8 / 8.8 的允许装配预紧力约 17.6 kN；只按 90% 屈服粗估是 21 kN，那个数没扣拧紧时的扭转应力，别拿它来判。B3 的 12.3 kN 还有余量，B1 光是最小需求就 21.9 kN，顶穿了，不用往下算 R6 就知道这颗不行。
更新：更正VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例的一处取值。VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例 在「再看一个例子」里写了「M8 / 8.8 级允许装配预紧力约 21 kN」，用的正是这个没扣扭转应力的粗估数，原文专门提醒过别拿它来判。按 R7 那套算法应该是约 17.6 kN。结论没变——B1 的 21.9 kN 一样顶穿，而且顶得更狠——但数得改过来。这里跟你说一声，也算自己给自己纠一次。
改的顺序和VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例第三幕说的是同一句，原文这一卷翻来覆去讲的其实也就是它：先动工艺——结合面喷砂或者加摩擦涂层，μT 从 0.15 提到 0.25，FKerf 降到约 12.2 kN，FMmin 回到 13.7 kN；再动结构——多一道分界面，或者补一颗螺栓分担横向力；最后才考虑加大规格。真换了规格，Φ、FZ、Ap、meff,min、MA 全得重算，VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例已经吃过一次这个亏。
还要交出去的量，别漏
要交出去的不止 FA、FQ。拆单连接时（§6.5）还得带上周围影响变形的那圈板，用来定等效外径 DA；相邻螺栓的变形体可以伸到邻孔边缘，尺寸取 (2t − dh)。偏心加载时截面切在弯矩零点线上，取最近那颗螺栓，得到偏心距 a。
刚体模型给不出 a，原文就让按 a = 0、n = 1 处理，但算残余夹紧力那一项得改用 n = 0——这一处最容易被漏，漏了数就对不上。我第一次读到这里也是醉了，一个模型里两个 n 取值，但原因很实在：这两项本来问的就不是同一件事。
什么时候该上有限元
原文 §7.1 没甩一句「一律上 FEM」了事，列的是一串判断条件：软件建不建得了接触和预紧、使用者有没有经验、手上有没有现成模型、现在处在哪个设计阶段、结构还描不描得出来。FEM 值钱的地方，是能绕开 Part 1 解析模型那些边界（G / G′ 尺寸限制、旋合长度、短夹持长度、开缝连接），非线性材料、接触、几何也都能收进来。
1，I 级模型：只建被连接件，螺栓不建、分界面不建；按 G / G′ 划的夹紧区当连续体，在名义分界面那儿读内力和力矩，后面还是回到 Part 1 验。最省事，方案阶段够用。
2，II 级模型：螺栓建成线元（拉杆、梁、弹簧都行），在头部或螺母支承面跟部件连上，分界面接触也能建。结果直接给螺栓内力，配 R0–R13 最常用的就是这一级。
3，III 级模型：螺栓建成等效实体，螺纹不建，靠调几何或本构把弹性凑到跟真螺栓差不多；除了分界面，支承面接触也能建。
4，IV 级模型：螺纹、所有接触面，全详细建出来。原文说它「只是为了完整起见」——按 Part 1 算连接通常用不着这么细，计算量倒是大得一塌糊涂。
模型越细，能顶掉的 R 步骤越多。§7.4 把 R0–R13 逐条对了一遍：R3 载荷分配、R8 工作载荷、R12 滑移，从 II 级起可以直接读 FE 结果；R7 装配应力还是建议照 Part 1 公式算，把拧紧过程建出来太费；R10 表面压力、R11 旋合长度一般也用不着 FEM。所以 FE 不是把 Part 1 扔了，是把它的输入换成更可信的数。
几个容易踩的坑
把原文里东一句西一句的提醒，收在一块儿。
1，拿刚体法算交变载荷。刚体法把螺栓弯矩和 a 都省了，偏偏振动工况下是弯曲应力决定疲劳寿命。原文对它在这方面的评价很客气，也很明确：只有很有限的应用。
2，螺栓行顺着力的方向还按均分。§6.6 专门讲这个坑：横向力顺着螺栓行方向，外侧两颗最吃力，板绝对刚性才谈得上均匀。两颗时各 50%，螺栓越多越不均。再有短夹持长度 lK/d < 1、力作用线落在分界面外的单列单剪连接，还会倾斜，原文建议干脆把 FQ 放大约 20% 兜底。前面说横向力可以先均分，前提就是别撞上这几条。
3，忘了 qF 和摩擦。横向力靠几道分界面传、每道摩擦系数取多少，直接定 R2 的 FKerf。lK/d < 2 时，有效分界面数会从 qF 增到 qFeff，原文说这效果还能拿来优化连接，别白白放过。
4，把 Φ 当经验常数抄。载荷系数是螺栓与板的柔度、载荷作用高度一起定出来的。Part 2 的分配结果一变，Φ 就不是原来那个数了。VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 · 卷三 换 M8 → M10 时，已经老老实实重算过一次。
5，圆形法兰想当然均分。同心轴向力加扭矩，圆形法兰确实可以均分；可一旦有弯矩 MB，最外侧那颗立刻冒出来。内压也不是省油的灯，会通过法兰变形再带一个附加弯矩进来。
几点说明
1，这一篇和VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例会不会重复？VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例「再看一个例子」只给了六螺栓算例的结论，用来说明「最吃力的不止一颗」；这一篇补的是形心、两个惯量、偏心弯矩、分配系数和矢量合成，也就是那几个数怎么来的。要对照十四步本身，还是回 VDI 2230 的 R0 到 R13应用与示例。
2，算例里的 Φ ≈ 0.08、qF = 1、SG 之类能直接用于量产吗？不能。VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 · 卷三 里取了整、用了等效圆柱法做手算演示；真做设计请按你手上那一版标准的分段公式和表格取值，抗滑移还要取 SG ≥ 1.2。本表提供的是理论计算值，不是实测值。
3，手上只有一张总装图，能开工吗？信息量太少，我只能猜测。请补充：1，整机载荷的大小、方向与作用点；2，螺栓坐标、规格是否一致；3，板与螺栓的相对刚度；4，结合面数量、摩擦系数与表面状态；5，装配工艺、拧紧工具与工作温度。缺一个，五步里至少有两步要停下来。
4，这一篇的数从哪来？全部沿用 VDI 2230 高应力螺栓连接系统计算指南 的 Part 2 卷：§6.3.1 五步、§6.3 六螺栓盖板算例、§6.4.7、§6.5、§6.6、§7.1 与 §7.4，一个没新造。两份原文都挂在VDI 2230 原文 PDF：Part 1 是 2003 版中译本，讲单圆柱螺栓连接；Part 2 是德中双语的多螺栓连接那份。对照着翻，R0 那句「已知 FA」的来路就清楚了。